% !TeX root = ../z.tex

% = vim: filetype=tex :set fileencoding=utf-8 ======= aącćeęlłnńoósśxźzż

\begin{elementlit}
{Jacek Gurczyński}
{\autor{Jacek \kapit{Gurczyński}}\afiliacja{Zakład Logiki i Filozofii Nauki, Instytut Filozofii, UMCS}}
{Dwa typy racjonalności --- Berkeley i~Newton}
{Dwa typy racjonalności --- Berkeley i~Newton}
{Two Types of Rationality --- Berkeley and Newton}
\anonim{\index{Gurczyński, J.}}


\oDef{\oLebesgue}{Lebesgue}{Lebesgue, H.L.} % Henri Léon
\oDef{\oMikusinski}{Mikusiński}{Mikusiński, J.G.} % Jan G.
\oDef{\oNadelTuronsk}{Nadel-Turońsk}{Nadel-Turoński, T.} % Tadeusz
\oDef{\oNeuman}{Neuman}{Neuman, J. von} % John
\oDef{\oRobinson}{Robinson}{Robinson, A.} % Abraham
\oDef{\oSchwartz}{Schwartz}{Schwartz, L.} % Laurent
\oDef{\oTemple}{Temple}{Temple, G.F.J.} % George Frederick James
\oDef{\oLighthill}{Lighthill}{Lighthill, M.J.} % Michael James

\streszczenie{
	Artykuł przypomina spór pomiędzy G.~\oBerkeley[em] a~I.~\oNewton[em] dotyczący prawomocności mechaniki
	klasycznej.
	Dyskutowali oni problem wielkości nieskończenie małych --- infinitezymali --- występujących w~rachunku 
	różniczkowym i~całkowym \oLeibniz[a] i~\oNewton[a].
	Wielkości te raz były większe od zera, a~raz równe zeru.
	Tej właśnie niekonsekwencji w~traktowaniu infinitezymali dotyczył zarzut \oBerkeley[a].
	Powszechna jest opinia, że rację w~tym sporze miał \oNewton{}, broniąc mechaniki klasycznej.
	Tymczasem przyjmując wąskie rozumienie racjonalności --- jako postępowania zgodnego z regułami logiki --- to 
	\oBerkeley{} miał rację, gdyż nie ma liczb zarazem różnych i~równych zeru.
	Problem ten został rozwiązany wraz z~podaniem ścisłej definicji granicy dopiero w~XIX wieku.
	Okazuje się zatem, że racja była po stronie \oBerkeley[a], natomiast \oNewton{} kierował się pragmatyzmem, 
	pragnąc zachować obiecującą teorię fizyczną.
}{
	Racjonalność --- Pragmatyzm --- Infinitezymale --- Mechanika klasyczna
}

Spór \oBerkeley[a] z~\oNewton[em] o~prawomocność mechaniki klasycznej jest dobrze znany.
Dość powszechny też jest obraz, zgodnie z~którym \oNewton{} --- twórca systemu mechaniki sformułowanej w~ścisły, 
matematyczny sposób, która zapoczątkowała rozwój nowoczesnego przyrodoznawstwa i~współczesnej fizyki, stanowiącej wzór 
dla innych nauk przyrodniczych przede wszystkim właśnie dzięki stosowaniu narzędzi matematyki zapewniających ścisłość, 
przejrzystość i~możliwość zastosowań praktycznych --- pozostaje wzorem naukowca i~racjonalnego postępowania.
I~\oBerkeley, żarliwy obrońca religii, krytyk materializmu, twórca niezwykle zawiłego systemu metafizycznego, piszący 
w~sposób niejasny i~metaforyczny, krytykujący \oNewton[a], a~więc przeciwnik nauki, obskurant i~ignorant.
Niniejszy tekst ma pokazać, że taki obraz jest krzywdzący dla \oBerkeley[a], a~co więcej, że to właśnie on, a~nie 
\oNewton, przestrzegał w~swoich dociekaniach bardziej ścisłych kryteriów racjonalności.
To właśnie \oBerkeley{} stał na straży logiki i~rozumu, a~więc wąsko rozumianej racjonalności, a~nie \oNewton, który 
kierował się skutecznością i~pragmatyką i~który dopiero współtworzył wzorzec szerzej rozumianej racjonalności, tzw. 
racjonalności naukowej.

W drugiej połowie XVII wieku \oNewton{} formułuje podstawy swojej mechaniki\footnote{ 
	Przy omawianiu tego problemu opieram się przede wszystkim na racjonalnej rekonstrukcji odkrycia prawa grawitacji 
	przedstawionej w: \cite{Sady:Racjonalna}.}.
Nadaje on znanemu już wcześniej II prawu dynamiki ,,ścisłą matematyczną postać'':
$$
F = m \frac{d^2s}{dt^2}
$$

,,Warunkiem koniecznym po temu, by prawo grawitacji przybrało taką postać, jak przybrało, było przyjęcie [powyższej] 
formuły lub jej równoważnej''\footnote{
	\cite{Sady:Racjonalna}, s.~60.}.
Z~koniunkcji tego prawa z~innymi twierdzeniami ma wynikać dedukcyjnie prawo grawitacji.
Ponadto \oNewton{} wykazuje,
,,że z~prawa grawitacji, w~koniunkcji z~trzema prawami dynamiki, wynikają zgodne z~wynikami doświadczeń opisy ruchów 
planet, księżyców Jowisza i~Saturna oraz Księżyca ziemskiego, ruchów pocisków, wahadeł (niezależnie, co 
Newton\index{Newton, I.} potwierdził doświadczalnie, od rodzaju substancji, z~jakiej je wykonano), przypływów i~odpływów 
mórz i~szereg innych zjawisk''\footnote{
	\cite{Sady:Racjonalna}, ss.~58--59.}.
W~ten sposób powstaje wzorcowa teoria naukowa: sformułowana za pomocą aparatu matematycznego, zgodnie z~podstawowymi 
regułami logiki i~posiadająca wiele trafnych przewidywań oraz zastosowań.

Aparatem matematycznym zaangażowanym w~mechanikę był rachunek różniczkowy i~całkowy stworzony niezależnie od siebie 
przez \oNewton[a] i~\oLeibniz[a].
Sam \oNewton{} nazywał swój rachunek \textit{teorią fluksji}.
Podstawowym pojęciem owego rachunku było pojęcie ,,infinitezymali'' --- liczby, która jest nieskończenie mała, lecz 
jednak różna od zera.
Problem infinitezymali znany był już \oEuklides[owi], który właśnie ze względu na niejasność tego pojęcia i~w~trosce 
o~ścisłość wykładu wykluczył to pojęcie ze swoich rozważań.

Podstawowym problemem \oNewton[a] było ustalenie związku pomiędzy ,,fluentami'' (czyli, jak powiedzielibyśmy dzisiaj,
chwilowym położeniem) a~,,fluksjami'' (czyli chwilową prędkością poruszającego się ciała).
Sam \oNewton{} tak
przedstawiał swoją teorię w~\textit{Method of Fluxions} z~1736 roku (,,fluksja'' wyrażana jest tu przez kropkę
umieszczoną nad literą i~jest ona wielkością skończoną; ,,fluenty'' przedstawiane są przez litery bez kropek,
infinitezymale nazywa się tu \textit{momentami fluksji} i~oznacza przez $vo,xo,zo$, gdzie $o$ jest ,,wielkością
nieskończenie małą'').
Zmienne fluenty oznaczone są przez $v,x,y,z,\ldots$, 
\Cytuj{
	[\ldots]
	a~prędkości, z~jakimi każda z~fluent wzrasta w~wyniku ruchu (które mogę nazywać \textit{fluksjami} lub
	prościej \textit{prędkościami}), będę przedstawiał przez te same litery kropkowane, tak więc
	$\dot{v},\dot{x},\dot{y},\dot{z},\ldots$

	Tak więc mając dane równanie:\\
	\centerline{$x^3-ax^2+axy-y^3=0$}
	podstawmy $x=x+\dot{x}o$ zamiast $x$, $y=y+\dot{y}o$ zamiast $y$, wówczas wyniknie:\\
	\centerline{$x^3 + 3x^2\dot{x}o + 3x\dot{x}o\dot{x}o + \dot{x}^3o^3$}
	\centerline{$- ax^2 - 2ax\dot{x}o - a\dot{x}o\dot{x}o$}
	\centerline{$+ axy + ay\dot{x}o + a\dot{x}o\dot{y}o + ax\dot{y}o$}
	\centerline{$- y^3 - 3y^2\dot{y}o - 3y\dot{y}o\dot{y}o - \dot{y}^3o^3 = 0$}

	Ponieważ z~założenia $x^3-ax^2+axy-y^3=0$, można to wyrażenie skreślić, a~następnie dzieląc pozostałe
	wyrazy przez $o$, otrzymuje się:\\
	\centerline{$3x^2\dot{x} - 2ax\dot{x} + ay\dot{x} + ax\dot{y}$}
	\centerline{$- 3y^2\dot{y} + 3x\dot{x}xo - a\dot{x}\dot{x}o$}
	\centerline{$+ a\dot{x}\dot{y}o - 3y\dot{y}\dot{y}o + \dot{x}^3oo - \dot{y}^3oo = 0$}
	
	Ale ponieważ $o$ przyjmuje się za wielkość nieskończenie małą, tak by mogło przedstawiać momenty wielkości, 
	wyrazy przez nie pomnożone będą niczym w~porównaniu z~pozostałymi.
	Odrzucam je więc i~pozostaje:\\
	\centerline{$3x^2\dot{x}-2ax\dot{x}+ay\dot{x}+ax\dot{y}-3y^2\dot{y}=0$.\footnote{
		\cite{Struik:Krotki}, ss. 160--162.}}
}

Widać tu wyraźnie niekonsekwencję \oNewton[a] w~traktowaniu symbolu $o$: raz jako zera, a~raz jako wielkości 
nieskończenie małej.
Mówi on, że możemy nie brać pod uwagę wartości $o$, ponieważ jest to wielkość bardzo mała, lecz zgodnie z~własnością 
\oArchimedes[a] charakteryzującą liczby rzeczywiste każda, nawet najmniejsza liczba, która jest różna od zera, stanie 
się dowolnie duża, gdy będziemy ją dodawać (czy mnożyć) do siebie odpowiednią ilość razy.
Infinitezymale, o~ile by istniały, musiałyby zatem być liczbami niearchimedesowymi, czyli większymi od zera, lecz bez 
względu na to, jak wiele (skończenie) razy liczba taka byłby dodawana do siebie, pozostawałaby ona mniejsza na przykład 
od 1\footnote{
	\cite{Davis:Swiat}, s.~211.}.
Jednak teoria takich liczb, ujęta przez \oRobinson[a] w~postaci teorii analizy niestandardowej, miała pojawić się 
o~wiele później --- w~drugiej połowie XX~wieku.

Zwróćmy uwagę na to, że problem nie jest ukryty gdzieś głęboko, w~zawiłościach wykładu, lecz dotyczy on jednego 
z~podstawowych pojęć teorii \oNewton[a] i~pojawia się już przy bardzo prostych rozważaniach i~zastosowaniach.
Powiedzmy, że chcemy obliczyć chwilową prędkość (oczywiście obliczenie prędkości średniej nie nastręcza tu żadnych 
problemów) spadającego kamienia w~pewnej chwili $t=1$.
W~tym przypadku fluenta (czyli pewna wielkość będąca funkcją jednego ,,czasu'', który jest tu tylko uniwersalnym 
parametrem) jest dana wzorem $s=6t^2$, gdzie $s$ jest liczbą przebytych metrów, a~$t$ czasem, który upłynął od momentu 
rozpoczęcia ruchu kamienia.
Poszukiwanym przez nas wynikiem jest skończona wartość stosunku $\frac{ds}{dt}$, gdzie $dt$ traktujemy jako 
nieskończenie mały przyrost czasu, a~$ds$ odpowiadający mu przyrost drogi.
Musimy zatem obliczyć przyrost drogi pomiędzy $t=1$ a~$t=1+dt$.
Dla $t=1$, położenie kamienia obliczamy:
$$16x1^{2}=16$$
a~dla $t=1+dt$:
$$16x(1+dt)^2$$
Zatem poszukiwany przez nas przyrost odległości $ds$ jest różnicą tych dwu odległości:
$$32dt+16dt^2$$
Ostatecznie więc wartość $\frac{ds}{dt}$ wynosi:
$$32+16dt.$$

Czyli, inaczej mówiąc, nasz kamień spadał z~prędkością 32~metrów na sekundę, ponieważ odpowiedź ma być wielkością 
skończoną.
\oNewton{} zdawał sobie sprawę z~powagi problemu i~próbował jakoś z~tego wybrnąć, przedstawiając w~swoich 
\textit{Principiach} ,,teorię stosunków początkowych i~końcowych'':
\Cytuj{
	Te końcowe stosunki wielkości znikających nie są naprawdę stosunkami tych końcowych wartości, lecz granicami, do 
	których dążą zawsze stosunki wielkości nieograniczenie malejących i~do których zbliżają się bardziej niż na 
	jakąkolwiek daną odległość, lecz nigdy poza nie wychodzą, ani w~efekcie ich nie osiągają, do chwili gdy 
	wielkości te zmniejszą się nieskończenie (\textit{Principia I}, rozdział I, ostatnie objaśnienie).

	Wielkości i~stosunek wielkości, które w~skończonym dowolnym czasie dążą stale do równości i~przed upływem tego 
	czasu zbliżają się jedna do drugiej na odległość mniejszą od dowolnie danej różnicy, w~końcu stają się równe 
	(1~B, I, I.~Lemat~I)\footnote{
		\cite{Struik:Krotki}, ss. 162--163.}.
}

Widać tu zalążki rozwiązania tego problemu za pomocą pojęcia granicy, które to pojęcie uzyskało jasne sformułowanie 
jednak o~wiele później.
W~tym czasie jednak sytuacja mechaniki klasycznej, oceniana z~punktu widzenia logiki, nie przedstawiała się zbyt dobrze.
U~jej podstaw w~zastosowanym aparacie matematycznym kryło się, prowadzące do sprzeczności, pojęcie wielkości 
nieskończenie małej.

Na powyższy fakt właśnie zwrócił w~1734 roku uwagę George \oBerkeley{} w~swojej pracy \textit{The Analyst}\footnote{
	\cite{Berkeley:Analyst}.
	Por. także:
	\cite{Davis:Swiat}, ss.~209--225;
	\cite{Bourbaki:Elementy}, ss.~209--249;
	\cite{Struik:Krotki}, ss.~159--168, 182--186, 225--229, 245--248.}.
Sama praca ukazuje nam \oBerkeley[a], jakiego raczej nie znamy --- doskonale posługuje się ówczesnym aparatem 
matematycznym i~to za jego pomocą prowadzi dyskusję z~\oNewton[em] i~\oLeibniz[em].
Zaczyna jednak od deklaracji:
,,Zażądam przywileju wolnomyśliciela i~pozwolę sobie wniknąć w~przedmiot, zasady i~metody dowodzenia przyjmowane przez 
dzisiejszych matematyków, z~tą samą swobodą, z~jaką wy ośmielacie się traktować zasady i~tajemnice Religii''\footnote{
	\cite{Berkeley:Analyst}, s.~1; \cite{Davis:Swiat}, ss.~214--215.}.
Gdy \oLeibniz{} rozpatruje $32+dt$ jako to samo co 32, \oBerkeley{} odpowiada:
,,nie pomoże też, że [składnik pominięty] jest wielkością nieskończenie małą; ponieważ powiada się nam, że \textit{in 
rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi}''\footnote{
	\cite{Berkeley:Analyst}, s.~6; \cite{Davis:Swiat}, s.~215.}.
Natomiast w~stosunku do \oNewton[a], którego stanowisko odnośnie do wielkości nieskończenie małych było łagodniejsze 
(\textit{vide} fragmenty z~jego \textit{Principiów}), \oBerkeley{} argumentował: ,,jeśli $x$ doznaje przyrostu $o$, 
wówczas przyrost $x^n$ podzielony przez $o$ jest $$
nx^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{1} \cdot 2 \cdot x^{n-2}o+\ldots
$$

Wzór ten został uzyskany za pomocą założenia, że $o$ jest różne od zera.
Fluksję $x^n$, $nx^{n-1}$ uzyskuje się, przyjmując właśnie $o$ równe zeru, tj. odrzucając nagle poprzednie 
założenie''\footnote{
	\cite{Struik:Krotki}, ss.~185--186.}.
\cytuj{
	Ale, pisał Berkeley\index{Berkeley, G.}, <<powinno być jasne, że takie rozumowanie nie jest ani uczciwe, ani 
	ostateczne>>.
	Przede wszystkim, albo $dt$ jest równe zeru, albo nie jest równe zeru.
	Jeśli $dt$ nie jest zero, to $32+16dt$ nie jest tym samym co 32.
	Jeśli zaś $dt$ jest zero, to przyrost odległości $ds$ także jest zero i~ułamek $\frac{ds}{dt}$ nie jest 
	$32+16dt$, ale wyrażeniem $\frac{0}{0}$  pozbawionym sensu.
	<<Jeśli bowiem powiada się: niech przyrosty znikają, tzn. niech przyrosty będą niczym, albo niech nie będzie 
	przyrostów, to poprzednie założenie, że przyrosty były czymś, czy że były przyrosty, odpada, a~mimo to 
	konsekwencja tego założenia, tzn. wyrażenie otrzymane na jego podstawie, pozostaje.
	Taka droga rozumowania jest fałszywa>>.
	I~Berkeley\index{Berkeley, G.} niemiłosiernie konkluduje: <<Czym są owe fluksje? Prędkościami zanikających 
	przyrostów.
	A~czym są owe zanikające przyrosty? Nie są to ani wielkości skończone, ani wielkości nieskończenie małe, ani 
	w~ogóle nic.
	Czy nie powinniśmy ich nazywać zjawami minionych wielkości?>>\footnote{
		\cite{Davis:Swiat}, s.~215; \cite{Berkeley:Analyst}, ss.~17--18.}.
}
Ostatecznie więc \oBerkeley{} wykazuje, że mechanika klasyczna okazuje się sprzeczna w~swoich podstawach.

Z~czysto logicznego punktu widzenia rację w~tym sporze miał \oBerkeley{} --- za pomocą racjonalnej i~rzetelnej 
argumentacji wykazał ponad wszelką wątpliwość sprzeczność teorii stworzonej przez \oNewton[a].
Jednak teoria \oNewton[a] świetnie sprawdzała się w~praktyce, miała wiele trafnych przewidywań.
\oNewton{} miał więc po swojej stronie praktykę, sukcesy teorii, co dawało mu mocne podstawy do jej obrony.
Poza tym \oNewton{}, broniąc swojej teorii, żywił zapewne nadzieję, że omawiane trudności uda się jakoś pokonać.
I~faktycznie późniejszy rozwój matematyki, wprowadzenie pojęcia granicy, uzupełnienie rachunku różniczkowego i~całkowego 
pozwoliło wyeliminować z~teorii antynomialne pojęcie infinityzemali.
Ale przecież mogło też potoczyć się to inaczej, podobnie jak z~eterem, który na zawsze pozostał jedynie bytem 
teoretycznym i~postulowanym, a~którego poszukiwania przyczyniły się ostatecznie do sformułowania teorii względności oraz 
obalenia i~wykazania fałszywości mechaniki klasycznej.
Po stronie \oBerkeley[a] były racje rozumu, po stronie zaś \oNewton[a] pragmatyka naukowa.
Przyjmując, co często się czyni, że teoria \oNewton[a] jest wzorcem ówcześnie prowadzonych dociekań naukowych, można 
powiedzieć, wbrew rozpowszechnionemu sloganowi, że wiek~XVIII był początkiem nie tyle ery rozumu, ile rodzenia się 
dominacji pragmatyki w~nauce.

W~podobny sposób genezę współczesnej nauki widzi \oWhitehead{}\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, ss.~17--28.}.
Podkreśla on wielokrotnie i~zdecydowanie, że współczesna nauka, za początek której zwykle przyjmuje się myśl 
\oGalileusz[a], powstała z~buntu przeciwko skrajnemu racjonalizmowi średniowiecza.
Według \oWhitehead[a] średniowiecze to ,,epoka myśli uporządkowanej, całkowicie przesiąkniętej racjonalizmem''\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, s.~21.}.
Po odrzuceniu sztywnej racjonalności myśli nastąpił powrót do obserwacji nagich faktów i~formułowania, nieuzasadnionych 
z~punktu widzenia rozumu, uogólnień.
U~podstaw nauki legła zatem wiara w~to, że ,,każde szczegółowe zdarzenie można powiązać w~określony sposób ze 
zdarzeniami wcześniejszymi, ujawniając przy tym prawidłowości ogólne [\ldots] (oraz) przekonanie, iż tajemnica istnieje 
i~że trzeba ją odsłonić''\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, s.~21.}.
Strategia, polegająca na badaniu tylko tych faktów, których badanie na danym etapie było możliwe, a~jednocześnie 
niezbędne dla dalszego rozwoju teorii, i~powiązanie tych faktów z~innymi, okazała się niezwykle skuteczna.
,,Właśnie wąska skuteczność była przyczyną metodologicznego sukcesu tego schematu''\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, s.~26.}.
Późniejsze sukcesy takiego podejścia dostarczają niezbędnego uzasadnienia dla odwrotu od racjonalizmu.
Taki bunt ,,[\ldots{}] był potrzebny.
Bardziej niż potrzebny --- był absolutnie koniecznym składnikiem zdrowego postępu [\ldots{}].
Reakcja była więc całkiem rozsądna: ale nie był to protest w~imię rozumu''\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, s.~25.}.
Był to protest w~imię skuteczności i~pragmatyki, sam też zresztą niezwykle skuteczny, gdyż ,,nauka nigdy nie zatraciła 
piętna narodzin w~okresie późnorenesansowego buntu historycznego.
Pozostała ruchem w~przeważającej części antyracjonalistycznym, opartym o~naiwną wiarę''\footnote{
	\cite{Whitehead:Nauka}, s.~25.}.

Dominację podejścia pragmatycznego w~nauce potwierdzają inne przykłady, gdy w~przypadku konfliktu rozumu
i~praktyki dawano pierwszeństwo tej drugiej.
\oNadelTuronsk[i] omawia analogiczny do powyżej omówionego
problem, który pojawił się w~XX wieku w~mechanice kwantowej po wprowadzeniu do niej przez \oDirac[a] funkcji
$\delta$ nazwanej później jego imieniem\footnote{
	\cite{Nadel:Metafory}; \cite{Nadel:Otak}.}.
Funkcja ta bardzo użyteczna na terenie mechaniki kwantowej, była jednak w~momencie wprowadzenia sprzeczna z~teorią 
funkcji rzeczywistych i~z~teorią całki \oLebesgue['a].
Mówiąc inaczej, funkcji takiej nie było, funkcja ta nie istniała, lecz była wykorzystywana.
\cytuj{
	Warunki nałożone na delta-funkcję w~równościach mających stanowić jej definicję są sprzeczne z~definicjami 
	funkcji rzeczywistej i~jej całki, a~więc termin ,,funkcja'' bądź ,,całka'', bądź oba te terminy znaczą tu 
	najwidoczniej coś innego niż w~matematyce tradycyjnej, tzn. z~punktu widzenia tej ostatniej rozumianej jako 
	zaksjomatyzowana nauka dedukcyjna nic nie znaczą, gdyż \oDirac{} nie dołączył do tradycyjnej matematyki zespołu 
	aksjomatów nadających owym pojęciom jakiś nowy sens ani też nie zinterpretował tych pojęć w~teoriach już 
	istniejących [\ldots].
	Szerokie zastosowanie dla rozwiązywania różnych równań różniczkowych fizyki matematycznej znalazła 
	\dyw{delta}{funkcja} jednak właśnie przed jej usensownieniem, przy czym zastosowania te polegały nie tylko na 
	uproszczeniu wyliczeń, ale i~na umożliwieniu rozwiązania zagadnień dotychczas nierozwiązywalnych\footnote{
		\cite{Nadel:Otak}, s.~98.}.
}

Z~punktu widzenia logiki takie postępowanie było oczywiście nie do przyjęcia, dlatego też von \oNeuman{}, chcąc ominąć 
ten poważny problem, zaproponował ujęcie mechaniki kwantowej w~oparciu o~aparat matematyczny przestrzeni \oHilbert[a], 
a~podejście \oDirac[a] nazwał ,,obłudnym''.
To alternatywne ujęcie nie tylko nie wyrugowało funkcji $\delta$ z mechaniki kwantowej, lecz także i~nie przeszkodziło 
w~nowych jej zastosowaniach, jak na przykład w~teorii pola i~teorii przewodnictwa cieplnego\footnote{
	\cite{Nadel:Metafory}, s.~50.}.
Po czasie ów paradoks znalazł swoje rozwiązanie w~teorii dystrybucji (funkcji uogólnionych) \oSchwartz[a], a~także 
w~rachunkach operacyjnych \oTemple['a]-\oLighthill[a], czy \oMikusinski[ego].
Co nie zmienia faktu, że przez jakiś czas fizyka kwantowa pozostawała sprzeczna w~swoich podstawach, ale dzięki 
stosowaniu funkcji \oDirac[a] skutecznie poszerzała zasięg swoich zastosowań.
W~tym przypadku pragmatyka ponownie wzięła górę nad racjonalnymi argumentami.

Rozumiejąc racjonalność wąsko jako postępowanie zgodne z~regułami logiki, to niewątpliwie \oBerkeley{} był tym, który 
w~sporze z~\oNewton[em] zachował się w~sposób racjonalny.
To po jego stronie były racje i~logika i~to on faktycznie miał rację --- infinityzemale są bytami wewnętrznie 
sprzecznymi i~jako takie z~konieczności nie istnieją.
A~jednak to \oNewton[a] uważa się za wzór naukowca, \oBerkeley[a] natomiast za fantastę i~ignoranta.
Dlaczego tak jest? Przede wszystkim dlatego, że racjonalność, rozumiana wąsko, jak powyżej, nie jest najbardziej 
znaczącą wartością dla rozwoju nauki.
\oNewton{} zdawał sobie sprawę z~trudności, lecz nie potrafił ich rozwiązać, gdyż nie dysponował odpowiednim aparatem 
matematycznym.
Mając do wyboru rozum i~praktykę, wybrał tę drugą, co było uzasadnione niebywałymi sukcesami jego teorii.
Dalszy rozwój nauki pokazał, że dokonał prawidłowego wyboru, gdyż jego teoria dała początek całemu współczesnemu 
przyrodoznawstwu.
Jednocześnie w~badaniach przyrodniczych utrwaliła się zasada przyznająca pierwszeństwo praktyce przed racjami 
rozumowymi --- nauka ma być skuteczna, ma efektywnie rozwiązywać pojawiające się problemy.
Poza tym taka strategia przyczynia się prawdopodobnie do szybszego rozwoju nauki.
Kłopotliwe problemy teoretyczne zostawia się tymczasowo na boku, koncentrując się na zastosowaniach praktycznych, licząc 
na to, że z~czasem uda się je rozwiązać --- jak w~przypadku infinityzemali, a~jeśli nie, to duża liczba takich 
nierozwiązanych problemów może przyczynić się do sformułowania nowej, lepszej teorii.

\oNewton{} był racjonalnym pragmatykiem, \oBerkeley{} natomiast był racjonalistą w~pełnym znaczeniu tego słowa --- dla 
niego ostateczną instancją była logika i~rozstrzygnięcia rozumu, a~nie praktyki.
I~tak jak \oNewton{} może stanowić wzór naukowca, tak \oBerkeley{} jest wzorem metafizyka niegodzącego się na 
kompromisy.
W~metafizyce czy ogólnie w~filozofii --- pomijając systemy irracjonalistyczne --- logika i~rozum pozostają ostatecznymi 
instancjami rozstrzygającymi o~wartości danego systemu.
Pojawiająca się w~systemie sprzeczność jest, podobnie jak w~matematyce, powodem do jego odrzucenia.
Nauki przyrodnicze pozwalają nam świat wykorzystywać, a~filozofia pomaga nam go rozumieć.
I~nawet jeśli nasze próby zbudowania metafizyki, a~więc systemu ostatecznie rozstrzygającego to, jaki rzeczywiście jest 
świat, skazane są na niepowodzenie, to wciąż podejmowane na nowo próby mają sens, bo z~każdym zadanym pytaniem, z~każdą 
odpowiedzią powiększa się nasze rozumienie świata, jak też i~sam ten świat.


\summary{
	This paper discusses the dispute between G.~\oBerkeley[] and I.~\oNewton[] concerning the validity of classical 
	mechanics.
	These two engaged in a discussion about infinitely small quantities --- infinitesimals --- which were used in 
	differential and integral equations by \oLeibniz[] and \oNewton[].
	Infinitesimals were both equal to zero and at the same time different from zero.
	The standard view is that \oNewton[] was right in defending classical mechanics.
	But if we accept a narrow sense of rationality --- as a procedure conforming to logical rules --- then 
	\oBerkeley[] was right, for there are no numbers at the same time equal to and different from zero.
	The problem of infinitesimals was resolved in the 19\iup{th} century, when the notion of limit was strictly 
	defined.
	Seen in the light of this, \oBerkeley[] appears as rational, and \oNewton[] as pragmatic in his determination to 
	preserve a promising physical theory.
}{
	Rationality --- Pragmatism --- Infinitesimals --- Classical Mechanic
}

\end{elementlit}
